[선형대수] Ax = b의 관점

Last Update: 2022-09-23

  1. Vector as a Function
  2. Combination of columns: Column Picture
  3. Mutiplication a row at a time: Row Picture
  4. Independence vs Dependence

1. Vector as a Function

작성중..

2. Combination of Columns: Column Picture

$$ A = \begin{bmatrix} 1 && 2 \ 3 && 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{c_1} && \vec{c_2} \end{bmatrix} \quad (\vec{c_1}= \begin{bmatrix} 1 \ 3 \end{bmatrix} \quad \vec{c_2}= \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}) $$

위와 같은 행렬$A$는 두개의 Column으로 이루어졌다.
이때 Column을 Column Vector로 볼 수 있다.

이러한 관점에서 $Ax = b$는 Column Vector들의 linear combination이다.

$$ Ax=\begin{bmatrix} \vec{c_1} && \vec{c_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = x_1\cdot\vec{c_1} + x_2\cdot\vec{c_2} = b $$

3. Mutiplication a row at a time: Row Picture

$$ A = \begin{bmatrix} 1 && 2 \ 3 && 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{r_1} \ \vec{r_2} \end{bmatrix} \quad (\vec{r_1}= \begin{bmatrix} 1 && 2 \end{bmatrix} \quad \vec{r_2}= \begin{bmatrix} 3 && 4 \end{bmatrix}) $$

위와 같은 행렬$A$는 두개의 row로 이루어졌다.
이때 Row를 Row Vector로 볼 수 있다.

이러한 관점에서 $A\vec{x} = b$는 Row Vector들을 한 행씩 $\vec{x}$와 Dot product를 하여 각 행으로 옮긴것이다.

$$ Ax = \begin{bmatrix} 1 && 2 \ 3 && 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{r_1} \ \vec{r_2} \end{bmatrix} \vec{x} = \begin{bmatrix} \vec{r_1}\cdot\vec{x} \ \vec{r_2}\cdot\vec{x} \end{bmatrix} = b $$

4. Independence vs Dependence

$$ A = \begin{bmatrix} \vec{u} && \vec{v} && \vec{w} \end{bmatrix} $$
위와 같이 행렬을 column vector들로 표현할 때 $Ax=b$는 Column Vector들의 linear combination임을 알았다. 이때 column vector들의 관계에 따라 solution인 x의 특징을 나눠볼 수 있다.

4.1 dependent

3차원 공간에서 생각했을때 $\vec{w}=a\vec{u} + b\vec{v}$라면 $u, v, w$를 포함하는 평면$\alpha$를 찾을 수 있다.

$b$ vector의 특성에 따라 solution의 특징이 달라진다.

  • $b$는 $\alpha$위에 존재한다. - x는 무수히 많은 값이 될 수 있다.
  • $b$는 $\alpha$위에 존재하지 않는다. - x가 존재하지 않는다.

이 상황에서의 matrix $A$를 singular matrix라 한다.

4.2 independent

dependent와 반대로 어떠한 vector도 서로의 linear combination으로 표현할 수 없는 경우이다.
이 경우에 $Ax=b$는 유일한 solution을 갖는다.
이때 $A$를 ivertible하다고 한다.